什么是正方形？它是一種有四條等長的直邊和四個90度角的形狀。
一個誠實的正方形：它有四條等長的直邊和四個90度的角
90度和四條直邊似乎是一起的。不可能畫一個全是90度角的三角形。同樣，也不可能畫出一個五邊形、六邊形或有更多直角的形狀，而這些形狀都有90度角。
真的是這樣嗎？
我們在學校里通常做幾何的二維平面被稱為歐幾里得平面。的確，在這個平面上，任何封閉的、邊長相同的、內角都是直角的圖形都必須有四條邊，它必須是一個正方形。然而，有不同類型的表面可以用曲率的概念來描述。如果你改變了平面的曲率會怎樣？形狀的邊數會不會改變？
曲率有多大？
你可以用高斯曲率的概念（以數學家卡爾-弗里德里希-高斯的名字命名）來衡量一個曲面在某一點上的彎曲程度。我們區分三種類型的曲面：每一點的高斯曲率為零，每一點的高斯曲率為正，以及每一點的高斯曲率為負。
歐幾里得平面在每一點上的恒定曲率為零，正如你可能期望的那樣：平面不是彎曲的，所以它應該有零曲率。球體在每一點上都有正的高斯曲率。直觀地說，這是因為它在所有方向上都 "向外彎曲"。如果你在球體上的任何一點坐下來，你會看到球體在所有方向上向下彎曲，遠離你的底部。
一個球體在每一個點上都有正的曲率
如果你坐在一個點上，例如圖中的紅色點，然后向下看，你會看到球體在所有方向上向下彎曲。從技術上講，圖中的兩條黑線給出了球體在該點的主曲率，在這種情況下都是正的。高斯曲率是主曲率的乘積，在這種情況下也是正的。
如果你把自己坐在一個馬鞍的形狀上，就像你在一匹馬上一樣，會發生非常不同的事情。如果你看下你的腿，你會看到表面向下彎曲，遠離你的屁股。但如果你從你的正前方或正后方往下看，你會看到表面向你的頭部上方彎曲。這種 "相反的彎曲"，從直覺上來說，就是負曲率的特征。
一個馬鞍具有負曲率
如果你在紅點處坐下來，順著你的腿看，你會看到表面向下彎曲。如果你從正前方或正后方看下去，你會看到表面向上彎曲。從技術上講，圖中的兩條黑線給出了該點上馬鞍的*主要曲率。在這種情況下，一個主曲率是正的，另一個是負的。高斯曲率是主曲率的乘積，在這種情況下是負的。
一般來說，高斯曲率在一個表面的不同點可以有不同的值。事實上，上面的馬鞍就是這種情況。球體的特殊之處在于，高斯曲率的值在所有的點上都是一樣的：它有恒定的正曲率。另一個具有恒定高斯曲率的曲面的例子是偽球面，如下圖所示。在這種情況下，曲率是負的。
一個偽球面，它具有恒定的負曲率
實際上，偽球面在垂直方向上是無限延伸的。
（注：偽球面是雙曲幾何的一個局部模型。）
球體上的形狀
那么，在這些表面上，具有直邊和90度角的形狀可以有多少個面呢？
讓我們從一個球體開始，想象它有一個赤道和一個北極，就像地球一樣。從赤道上的一個點開始，沿著一條經線一直到北極（這樣的線總是與赤道形成90度角）。現在找到另一條經線，與你剛剛走過的那條經線成90度角，然后沿著這條新的經線走，直到你再次遇到赤道。現在沿著赤道走，直到你到達你的起點。
一個有90度角、邊長相等的球形三角形
你所走過的線都是球體上大圓的一部分，也就是說，直徑與球體本身相同的圓。每條線都對應著一個大圓的四分之一，所以它們都有相同的長度。球體上的大圓是平面上直線的類似物。這是因為，就像平面上兩點之間的最短距離是沿著直線，所以球體上兩點之間的最短距離是沿著大圓。
(注：表面上的最短距離的線被稱為測地線)
我們在這里創造的是一個直角形狀，它的邊都有相同的長度，并以90度角相交，而且它有三條邊，而不是四條！這也說明了，我們在這里創造的是一個直角形狀。這也說明，在一個具有正曲率的形狀上繪制的三角形的角度加起來超過180度（在平面上是這樣的）。在我們的例子中，它們加起來是90+90+90=270度。
在球體上，我們甚至可以畫一個兩面的形狀，其邊長相同，并以90度角相交。一邊是半個大圓，另一邊是與原大圓成直角的大圓的一半。這樣的形狀被稱為二角形。
兩個垂直的大圓從球體上切出的四個楔子中的每一個都是一個二角形
偽球體上的形狀
所以，我們剛剛看到，在球體（具有正曲率）上，我們可以畫出一個具有90度角、所有邊都相同長度的形狀，其邊數少于四邊。而事實證明，在偽球面（具有負曲率）上，我們可以畫出這樣一個有四條以上邊的形狀。下面是一個有五條邊的例子。
這個畫在偽球上的五邊形有等長的直邊和90度的角。(我們在這里只展示了偽球面的頂部部分，因為它足以說明問題。) 圖片取自Numberphile視頻五邊形（https://youtu.be/n7GYYerlQWs），本文就是基于此視頻而寫的。
這里的角度看起來比90度小，但這是由負曲率造成的錯覺。以類似的方式，球體的正曲率使我們上面看到的三角形中的90度角看起來比90度大。
雖然五邊形的邊在我們看來是彎曲的，但從它們是測地線段的意義上來說，它們是直的：假球體上的最短距離線。而且，事實證明，它們都是相同的長度。
因此，如果你認為90度角和相同長度的直邊定義了一個正方形，那么再想想。這完全取決于曲率!
你能畫出有六條、七條、八條、甚至更多條邊的這種形狀嗎？我們把這個問題留給你自己去發現。
原作者：Hannah Darken
翻譯：MathVoice
審校：MathVoice
