這是百度上看到的幾何難題。看起來(lái)很不好做。三角形內(nèi)有個(gè)正方形，求正方形的面積。
幾何難題
讓我們靜下心來(lái)思考一下，三角形能給我們哪些已知條件？正方形能給我們哪些已知條件？另外注意到FB=FC，線段相等給圖形旋轉(zhuǎn)帶來(lái)方便。
把△CFG繞F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°到△BFD，此時(shí)BD∥AC，設(shè)∠A=α，則∠ABD=180°-α。設(shè)正方形邊長(zhǎng)=x，則ED=EG=√2x。我們對(duì)△AEG和△BDE運(yùn)用余弦定理，得到：
2x2=72+92-2×7×9cosα，
2x2=62+22-2×6×2cos(180-α)。
解方程得：cosα=3/5。x2=136/5。
這樣就得到了正方形的面積。這個(gè)方法簡(jiǎn)單。很多幾何題用三角函數(shù)來(lái)解比較方便，可以參看我的其他幾篇文章。
作輔助線
再來(lái)思考如何用幾何方法解題。
既然旋轉(zhuǎn)了，就干脆用旋轉(zhuǎn)后的等價(jià)幾何題來(lái)證明一下。首先畫(huà)出圖形如下，題目變?yōu)椋?/p>
四邊形ABDG是梯形，AG∥BD，AG=9，BD=2，AB=13。F是DG的中點(diǎn)，E在AB上，BE=6。四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積。
等價(jià)變形后的幾何題
解題思考過(guò)程：
已知條件為梯形、正方形、線段中點(diǎn)、線段長(zhǎng)度。為了找出正方形邊長(zhǎng)與已知線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，作梯形的中位線FM，延長(zhǎng)GH交AB于N，發(fā)現(xiàn)△EFM∽△NGA。設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，用相似三角形比例關(guān)系算出，HN=7x/11，EN=68/11，△EHN是Rt△，由勾股定理得到方程x2+(7x/11)2=(68/11)2。解得x2=136/5。
總結(jié)一下：將三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)等價(jià)梯形，用相似三角形邊長(zhǎng)成比例得到相關(guān)數(shù)據(jù)，用勾股定理列出方程解得正方形的面積。
做完后再看老師的解法。尤其是自己花了很多時(shí)間研究之后，想知道別人有什么好的做法。
老師的解法是作BP∥FG，F(xiàn)G是三角形中位線，也是用相似三角形和勾股定理解方程，道理是相似的。不用旋轉(zhuǎn)，直接作輔助線。很好的解法，學(xué)有所獲。
老師的解法
此時(shí)心中感到無(wú)比欣慰。因?yàn)槭亲约貉芯克茫医o出的解法一定是獨(dú)一無(wú)二的。我與老師的解法形不同而意同，這也是數(shù)學(xué)的魅力所在。
當(dāng)幾何題比較難解的時(shí)候，找到它的等價(jià)幾何題應(yīng)該是一個(gè)不錯(cuò)的方法，我有很多這方面的嘗試。
這里是輕松簡(jiǎn)單學(xué)數(shù)學(xué)，用最簡(jiǎn)方法，學(xué)最難數(shù)學(xué)。輕松簡(jiǎn)單不是憑空而來(lái)，而是長(zhǎng)期研究思考的結(jié)果。
