1、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD得中點，AD、BC得延長線交MN于E、F．求證：∠DEN＝∠F．
如下圖連接AC并取其中點Q，連接QN和QM，
所以可得∠QMF=∠F，
∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，
從而得出∠DEN＝∠F。
2、如圖，分別以△ABC得AC和BC為一邊，在△ABC得外側作正方形ACDE和正方形CBFG，點P是EF得中點．求證：點P到邊AB得距離等于AB得一半．
過E,C,F點分別作AB所在直線得高EG，CI，FH。
可得PQ=（EG+FH）/2
由△EGA≌△AIC，
可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
從而可得PQ=AI+BI/2=AB/2,從而得證。
3、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．求證：CE＝CF．
順時針旋轉△ADE，到△ABG，連接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
從而可得B，G，D在一條直線上，
可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，
從而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可證：CE=CF。
4、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．
求證：AE＝AF．
連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，
所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
從而可知道∠F=150，
從而得出AE=AF。
5、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上得一點，AE與CF相交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．
過D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，
由S?ADE=□ABCD/2=S?DFC,可得：
AE?PQ/2=AE?PQ/2,由AE=FC.
可得DQ=DG，
可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定理）。
6、如圖，△ABC中，∠C為直角，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC得外側作正△ABE與正△ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。
證明：過D作DG//AB交EA得延長線于G，
可得∠DAG=30°
∵∠BAD=30°＋60°=90°∴∠ADG=90°
∵∠DAG=30°=∠CAB，AD=AC
∴Rt△AGD≌Rt△ABC∴AG=AB，∴AG=AE
∵DG//AB∴EF//FD
7、如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC得中點，EC和DF相交于G，連接AG，求證：AG=AD。
證明：作DA、CE得延長線交于H
∵ABCD是正方形，E是AB得中點
∴AE=BE，∠AEH=∠BEC,∠BEC=∠EAH=90°
∴△AEH≌△BEC（ASA）
∴AH=BC，AD=AH
又∵F是BC得中點
∴Rt△DFC≌Rt△CEB∴∠DFC=∠CEB
∴∠GCF＋∠GFC=∠ECB＋∠CEB=90°
∴∠CGF=90°∴∠DGH=∠CGF=90°
∴△DGH是Rt△
∵AD=AH∴AG=1/2DH=AD
8、已知在三角形ABC中,AD是BC邊上得中線,E是AD上得一點,且BE=AC,延長BE交AC與F,求證AF=EF
證明：如圖
連接EC,取EC得中點G,AE得中點H，
連接DG,HG
則：GH=DG
所以：角1=∠2，
而∠1=∠4，∠2=∠3=∠5
∴∠4=∠5，∴AF=EF.
